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√x+√y=1のグラフ

はじめに

 \sqrt{x}+\sqrt{y}=1のグラフを考えます。

式変形

$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 $ を2乗などして整理すると

\[ x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0 \tag{1} \]

となるので

$$ {}^t\!\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}+ (-2\ -2) \boldsymbol{x}+1=0 \tag{2} $$

と書けます。ただし、

$$ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{pmatrix} $$

で、${}^t\!\boldsymbol{x}$は$\boldsymbol{x}$の転置です。

標準化

簡単な計算によって対称行列$A$は直交行列

$$ P=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{pmatrix} $$

によって

$$ P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&0 \end{pmatrix} $$

と対角化されると分かります。そこで、

$$ \boldsymbol{y}=\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x} $$

と変数変換をすると(2)式は

$$ {}^t\!\boldsymbol{y}\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\boldsymbol{y} +(-2\ -2)\left(P\boldsymbol{y}\right)-1=0\\ $$ $$ 2X^2+(-2\ -2)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} X+Y\\ -X+Y \end{pmatrix}\right) -1=0 $$ $$ Y=\dfrac{X^2}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$

と標準化できます。これは放物線を表します

変数変換の意味は

さて、変数変換$\boldsymbol{y}=P^{-1}\boldsymbol{x}$の$P^{-1}$は

$$ P^{-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos{(\pi/4)}&-\sin{(\pi/4)}\\ \sin{(\pi/4)}&\cos{(\pi/4)} \end{pmatrix} $$

なので原点まわりの$\pi/4$の回転を表します。つまり$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$を$\pi/4$回転したグラフが$y=x^2/\sqrt{2}+\sqrt{2}/2$です。

逆に$y=x^2/\sqrt{2}+\sqrt{2}/2$(の$-1/\sqrt{2}\leq x\leq1/\sqrt{2}$部分)を$-\pi/4$回転すれば、$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$のグラフが得られます。

おわりに

$y=(1-\sqrt{x})^2$より、$y'=(\sqrt{x}-1)/\sqrt{x}$が$0\leq x\leq1$で$y'\leq0$であることと、$y'‘=1/(2x\sqrt{x})\geq0$であることからもだいたいのグラフが描けますね。

画像も追加したい。