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インスタント留数定理

この記事は次のような方にオススメです。

「 留数定理 ってなんかカッコイイ！！！！」と思っている。
ラーメンタイマーが必要。

3分で留数定理が使えるようになります。

例として、留数定理を使って次の計算をします。

$\displaystyle \oint_{C_1} \dfrac{1}{z^3-4z}\mathrm{d}z \qquad C_1:|z-(1+i)|=\dfrac{3}{2}$

線積分、周回積分

$\displaystyle \int_C$ の部分は、経路 $C$ に沿った線積分をするという意味です。 $C$ のことを積分路とか言います。特に、積分路が単純閉曲線*1のときは $\displaystyle \oint_C$ と書いて、周回積分と言ったりします。1周回る積分です。線積分の意味は、よく分かりません。今回の問題の積分路 $C_1$ は中心 $1+i$ で、半径 $\frac{3}{2}$ の円です。

留数定理

留数定理とは、次の式が成り立つことです。

$\displaystyle \oint_{C} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi i(\mathrm{Res}(a_1)+\mathrm{Res}(a_2)+\cdots +\mathrm{Res}(a_n))$

$a_k$ は $C$ 上またはその内部における $f(z)$ の有限個の孤立特異点 *2です。留数定理によると、積分計算をしないで線積分の値が求まるようです！しかし、Resとはなんでしょう。

Resはresidue(留数)の略です。

留数

留数の定義?はローラン展開 *3の話が必要になるので省略します。だいたいテイラー展開の拡張版のようなものです。留数は、 $f(z)$ と特異点 $a_k$ によって値が決まります。具体的には、次の計算によって求めることができます。

$z=a$ が $f(z)$ の $n$ 位の極のとき、 $\displaystyle \mathrm{Res}(a) = \dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}{\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}(z-a)^n f(z)}$

特に、 $n=1$ のときは、

$\displaystyle \mathrm{Res}(a) = \lim_{z\to a}(z-a)f(z)$

となります。

$n$ 位の極

極の定義?はローラン展開の話が必要になります。やはり省略します。うまく説明できないので、例を挙げます。たとえば、

$\displaystyle f(z) = \dfrac{1}{(z-\alpha)^n}$

のようになっているとき、 $z=\alpha$ は $f(z)$ の $n$ 位の極であるといいます。また、

$\displaystyle g(z) = \dfrac{1}{(z-\alpha)^n(z-1)} \qquad (\alpha \neq 1)$

のようになっていても、やはり $z=\alpha$ は $g(z)$ の $n$ 位の極です。また、 $z=1$ は $g(z)$ の1位の極です。

解く

問題を再掲します。

$\displaystyle \oint_{C_1} \dfrac{1}{z^3-4z}\mathrm{d}z \qquad C_1:|z-(1+i)|=\dfrac{3}{2}$

$\displaystyle f_1(z) = \dfrac{1}{z^3-4z}$

としておきます。まず、留数定理を用いるために留数を求めます。留数は各特異点に対して決まるものでした。 $f_1(z)$ の特異点、つまり、 $f_1(z)$ の分母をゼロにするような $z$ を求めます。これは、

$z^3-4z=0$

を解けばいいので、 $z=0, \pm 2$ の3つが特異点だと分かります。あとで使うので、 $f_1(z)$ を因数分解しておきます。

$f_1(z) = \dfrac{1}{z(z-2)(z+2)}$

さて、特異点は3つと分かりましたが、留数定理に必要な特異点は $C_1$ 上またはその内部のものだけでした。曲線 $C_1$ を描くと

f:id:poyopoyoyon:20160626015737p:plain

こうなるので、内部の特異点は $z=0$ と $z=2$ の2つになります(ともに1位の極)。この2つについてそれぞれ留数を求めると

$\displaystyle \mathrm{Res}(0)$

$\displaystyle = \lim_{z\to 0}(z-0)f_1(z)$

$\displaystyle = \lim_{z\to 0}(z-0)\dfrac{1}{z(z-2)(z+2)}$

$\displaystyle = \lim_{z\to 0}\dfrac{1}{(z-2)(z+2)} = -\dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \mathrm{Res}(2)$

$\displaystyle = \lim_{z\to 2}(z-2)f_1(z)$

$\displaystyle = \lim_{z\to 2}(z-2)\dfrac{1}{z(z-2)(z+2)}$

$\displaystyle = \lim_{z\to 2}\dfrac{1}{z(z+2)} = \dfrac{1}{8}$

となるので、留数定理より*4

$\displaystyle \oint_{C_1} \dfrac{1}{z^3-4z}\mathrm{d}z$

$\displaystyle = 2\pi i(\mathrm{Res}(0)+\mathrm{Res}(2))$

$\displaystyle = 2\pi i\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\right) = 2\pi i \times \left(-\dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{\pi}{4}i$

と求めることができます。

*1:円や長方形のような、端っこがない曲線です。ただし、∞みたいに交点を持つものは除きます。

*2:おおよそ、 $f(z)$ の分母をゼロにするような点(複素数)のことです。

*3:ローラン級数 - Wikipedia

*4:カッコイイ！！！！