po

和集合

問題

ベクトル空間$V$の部分空間$U, W$がある。もし$U\cup W$が部分空間になるなら、$U\subset W$または$W\subset U$であることを示せ。

答え

$\boldsymbol{u}\in U\setminus W,\ \boldsymbol{w}\in W\setminus U$がとれたとする。$U\cup W$が部分空間なので$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}\in U\cup W$である。$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}\in U$とすると、$U\ni \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}=\boldsymbol{w}$となって矛盾する。$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}\in W$としても同様である。よって$U\subset W$または$W\subset U$である。

おわりに

背理法が いいねと君が 言ったから 5月23日は 背理法記念日