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4次の行列式の計算

はじめのはじめに

この記事はwww.adventar.orgの24日目の記事として書かれています。

はじめに

行列式を成分で「わーっ」って書くの、3次までしか見たことなかったので4次の場合を書きます。

2次と3次

よく知られているように、2次の正方行列 A_2=(a_{ij})行列式

{
\begin{equation}
|A_2|=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation}
}

で計算でき、3次の正方行列 A_3=(a_{ij})行列式はサラスの方法*1を使って簡単に計算できます。

n次

一般に n次の正方行列 A_n=(a_{ij})行列式

{\displaystyle
\begin{equation}
|A_n|=\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \tag{1}
\end{equation}
}

と定義されます。






n=4

と言われてもよく分からないので4次の場合を具体的に計算してみましょう。

まず、 \displaystyle\sum_{\sigma} n文字 1, 2, \ldots, nのすべての置換について和をとるという意味です。すべての置換とは、 1, 2, \ldots, nの並び替えのすべての場合ということです。つまり総和記号 \sumを使わずに書くと、 n!項に展開できます。4次の場合は n!=4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24項です。

たとえば、 1, 2, 3, 4の並び替えとして 4, 3, 2, 1が考えられます。このとき

{
\begin{equation}
\sigma=\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
4&3&2&1
\end{pmatrix}
\end{equation}
}

と書いたり、


\sigma(1)=4,\ \sigma(2)=3,\ \sigma(3)=2,\ \sigma(4)=1

と書いたりします。気持ちは、 \sigmaは1を4に、2を3に、3を2に、4を1にえる、という感じです。これで、(1)式の a_{i\sigma(i)}の部分の意味が分かったと思います。

最後に \varepsilon(\sigma) *2ですが、これは

{\varepsilon(\sigma)=
\begin{cases}
1&\quad(\text{$\sigma$が偶置換})\\
-1&\quad(\text{$\sigma$が奇置換})
\end{cases}
}

です。あとは偶置換と奇置換の意味が分かればいいのですが、ここで互換の考えを導入します。ただ、これは簡単で、2つの文字の置換

{
\begin{equation}\tau=
\begin{pmatrix}
j&k\\
k&j
\end{pmatrix}
\end{equation}
}

 (j, k)と書いて「互換」と呼びます。つまり、互換 (j, k)とは j kをswapして、その他の要素は何もしないという置換です。置換と互換について次の事実が知られています。

任意の置換はいくつかの互換の積で表せる。*3

たとえば先ほどの例の \sigmaでは

{
1, 2, 3, 4\xrightarrow{(1, 4)}4, 2, 3, 1\xrightarrow{(2, 3)}4, 3, 2, 1
}

となるので、 \sigma=\tau\upsilonと表せます。( \tau=(1, 4),\ \upsilon=(2, 3)) また、\sigma=(1, 2)(2, 3)(3, 4)(1, 2)(2, 3)(1, 2)とも表せます。このことから分かるように、ある置換をいくつかの互換の積で表すとき、その表し方は一通りには定まりません。ただし、互換の個数について次の事実が知られています。

任意の置換はいくつかの互換の積で表せるが、互換の個数の偶奇は一通りに定まる。

これで、偶置換・奇置換の意味が分かると思います。つまり、偶数個の互換の積で表される置換は偶置換で、奇数個の互換の積で表される置換は奇置換です。

n=4(再チャレンジ)

まず、 4!=24個の置換 \sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{24}を明記しておきます。ただし、 \sigma_{m}=(x\ y\ z\ w)と書いて

{
\begin{equation}
\sigma_{m}=\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
x&y&z&w
\end{pmatrix}
\end{equation}
}

を意味するものとします。(一行目は省略するということです)

\begin{align*}
\sigma_{1}=(1\ 2\ 3\ 4)\\
\sigma_{2}=(1\ 2\ 4\ 3)\\
\sigma_{3}=(1\ 3\ 2\ 4)\\
\sigma_{4}=(1\ 3\ 4\ 2)\\
\sigma_{5}=(1\ 4\ 2\ 3)\\
\sigma_{6}=(1\ 4\ 3\ 2)\\
\sigma_{7}=(2\ 1\ 3\ 4)\\
\sigma_{8}=(2\ 1\ 4\ 3)\\
\sigma_{9}=(2\ 3\ 1\ 4)\\
\sigma_{10}=(2\ 3\ 4\ 1)\\
\sigma_{11}=(2\ 4\ 1\ 3)\\
\sigma_{12}=(2\ 4\ 3\ 1)\\
\sigma_{13}=(3\ 1\ 2\ 4)\\
\sigma_{14}=(3\ 1\ 4\ 2)\\
\sigma_{15}=(3\ 2\ 1\ 4)\\
\sigma_{16}=(3\ 2\ 4\ 1)\\
\sigma_{17}=(3\ 4\ 1\ 2)\\
\sigma_{18}=(3\ 4\ 2\ 1)\\
\sigma_{19}=(4\ 1\ 2\ 3)\\
\sigma_{20}=(4\ 1\ 3\ 2)\\
\sigma_{21}=(4\ 2\ 1\ 3)\\
\sigma_{22}=(4\ 2\ 3\ 1)\\
\sigma_{23}=(4\ 3\ 1\ 2)\\
\sigma_{24}=(4\ 3\ 2\ 1)\\
\end{align*}

たとえば、 \sigma_{23}(2)=3,\ \sigma_{24}(4)=1です。以上の準備で、4次正方行列

{
\begin{equation}
A_4=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{pmatrix}
\end{equation}
}

を定義に従って計算できます。

{\displaystyle
\begin{align*}
|A_4|=&\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}\\
=&\varepsilon(\sigma_{1})a_{1\sigma_{1}(1)}a_{2\sigma_{1}(2)}a_{3\sigma_{1}(3)}a_{4\sigma_{1}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{2})a_{1\sigma_{2}(1)}a_{2\sigma_{2}(2)}a_{3\sigma_{2}(3)}a_{4\sigma_{2}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{3})a_{1\sigma_{3}(1)}a_{2\sigma_{3}(2)}a_{3\sigma_{3}(3)}a_{4\sigma_{3}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{4})a_{1\sigma_{4}(1)}a_{2\sigma_{4}(2)}a_{3\sigma_{4}(3)}a_{4\sigma_{4}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{5})a_{1\sigma_{5}(1)}a_{2\sigma_{5}(2)}a_{3\sigma_{5}(3)}a_{4\sigma_{5}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{6})a_{1\sigma_{6}(1)}a_{2\sigma_{6}(2)}a_{3\sigma_{6}(3)}a_{4\sigma_{6}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{7})a_{1\sigma_{7}(1)}a_{2\sigma_{7}(2)}a_{3\sigma_{7}(3)}a_{4\sigma_{7}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{8})a_{1\sigma_{8}(1)}a_{2\sigma_{8}(2)}a_{3\sigma_{8}(3)}a_{4\sigma_{8}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{9})a_{1\sigma_{9}(1)}a_{2\sigma_{9}(2)}a_{3\sigma_{9}(3)}a_{4\sigma_{9}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{10})a_{1\sigma_{10}(1)}a_{2\sigma_{10}(2)}a_{3\sigma_{10}(3)}a_{4\sigma_{10}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{11})a_{1\sigma_{11}(1)}a_{2\sigma_{11}(2)}a_{3\sigma_{11}(3)}a_{4\sigma_{11}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{12})a_{1\sigma_{12}(1)}a_{2\sigma_{12}(2)}a_{3\sigma_{12}(3)}a_{4\sigma_{12}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{13})a_{1\sigma_{13}(1)}a_{2\sigma_{13}(2)}a_{3\sigma_{13}(3)}a_{4\sigma_{13}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{14})a_{1\sigma_{14}(1)}a_{2\sigma_{14}(2)}a_{3\sigma_{14}(3)}a_{4\sigma_{14}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{15})a_{1\sigma_{15}(1)}a_{2\sigma_{15}(2)}a_{3\sigma_{15}(3)}a_{4\sigma_{15}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{16})a_{1\sigma_{16}(1)}a_{2\sigma_{16}(2)}a_{3\sigma_{16}(3)}a_{4\sigma_{16}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{17})a_{1\sigma_{17}(1)}a_{2\sigma_{17}(2)}a_{3\sigma_{17}(3)}a_{4\sigma_{17}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{18})a_{1\sigma_{18}(1)}a_{2\sigma_{18}(2)}a_{3\sigma_{18}(3)}a_{4\sigma_{18}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{19})a_{1\sigma_{19}(1)}a_{2\sigma_{19}(2)}a_{3\sigma_{19}(3)}a_{4\sigma_{19}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{20})a_{1\sigma_{20}(1)}a_{2\sigma_{20}(2)}a_{3\sigma_{20}(3)}a_{4\sigma_{20}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{21})a_{1\sigma_{21}(1)}a_{2\sigma_{21}(2)}a_{3\sigma_{21}(3)}a_{4\sigma_{21}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{22})a_{1\sigma_{22}(1)}a_{2\sigma_{22}(2)}a_{3\sigma_{22}(3)}a_{4\sigma_{22}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{23})a_{1\sigma_{23}(1)}a_{2\sigma_{23}(2)}a_{3\sigma_{23}(3)}a_{4\sigma_{23}(4)}\\
&+\varepsilon(\sigma_{24})a_{1\sigma_{24}(1)}a_{2\sigma_{24}(2)}a_{3\sigma_{24}(3)}a_{4\sigma_{24}(4)}\\
=&a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\\
&-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\\
&+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\\
&+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}\\
&-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}\\
&-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}\\
&+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\\
&+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}\\
&-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\\
&-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}\\
&+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}\\
&+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}\\
&-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}\\
&+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}\\
&+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}\\
&-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}\\
&-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}\\
&+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}\\
&+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}\\
&-a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}\\
&-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}\\
&+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}
\end{align*}
}

おわりに

タイプミスがあると思います。

※追記(12/24)
Twitterで貴重な情報を頂きました。

*1:行列式 - Wikipedia

*2: \verb|sgn|(\sigma) とも書かれます。

*3:積とは、互換を繰り返し使用するみたいな意味です。