オイラの微分方程式
次の形の微分方程式はオイラーの微分方程式と呼ばれています。*1
の階数との次数が一致しています。 これを解きたいのですが、定数係数ではないのでつらそうです。
オイラーさん、置換する
そこでオイラーさん考えました。
(1)の微分方程式は、と変数変換することで定数係数の2階線形になるというのです。
実況置換中継
実際に見ていきましょう。 より、
となり、(3)式の第2項は
となります。さらに、第1項は(2)の結果より、です。よって(3)式は
となります。(4)式よりとして、(2)と共に(1)に代入すると、*3
となって、見事定数係数になりました!あとは、特性方程式を解いて一般解を求めて未定係数法で特殊解を求めるなどすればよいです。
例題
を解きます。
これは、(1)式において、としたもので、(5)式に代入すると
となります。
- 補助方程式の一般解
(6)式の(左辺)=0としたもの(補助方程式)の一般解を求めます。
の特性方程式を解くとを得るので、一般解は
となります。
- 特殊解
(6)式の特殊解は右辺の形よりと予想できます。より、(6)に代入してとなるので、で
です。
(7)(8)より、(6)の解は
となります。最後の仕上げはより、としてを消去します。