ベクトル空間になりそうでならないもの
ベクトル空間(線形空間)についてです。
について2次の実数係数多項式の全体 はベクトル空間になるでしょうか。タイトルによると、ならないようです。
ベクトル空間
ベクトル空間とは、次の2つの条件を満たす集合のことです。
- ならば、
- ならば、
はだったり、だったりします。は空でないとします。
与えられた集合がベクトル空間であるかどうかは、この2つを調べればよさそうです。 任意の2次の実数係数多項式は で表されるので、の元を
とおけます。(1)式と(2)式の和は
となります。各係数は実数の和になっているので、当然実数です。だから、(3)式もまたの元となって、ベクトル空間の条件の1つ目は満たされそうです。しかし、のときを考えてみると、(3)式の2次の項は係数が0になって
となります。よって、条件1を満たさないので、2次の実数係数多項式全体はベクトル空間になりません。
ただし、2次 以下 の実数係数多項式全体はベクトル空間になります。ふつうは、こっちです。